"写退学申请" 是指需要自己撰写一份书面文档，表达退学的意愿、原因、退学的时间等相关信息。这份文档需要遵循一定的格式要求，例如退学申请格式、撰写方法等，具体要求可能不同学校或不同国家有所不同。
而 "申请退学" 更多地强调一个行动的提出，可以是口头的、书面的或电子邮件等形式，例如面对面给导师或者学校管理员讲述退学的原因，提交一份退学申请表格等，这与 "写退学请" 类似，但是申请退学的语言不一定需要遵循特定的格式要求。
因此，两者区别在于 "写退学申请" 是强调书面文档的撰写，比重更多的是申请信的书面格式和书写技巧， "申请退学" 则强调表达退学意愿的途径和方式。