根据《中华人民共和国产品质量法》，食品赠品属于三无产品（即无商标、无保质期、无产地标识），并且在使用时可能对人体健康造成影响。

因此，消费者在购买包含赠品的食品时，如果赠品属于三无产品且导致消费者健康受损，是可以向生产厂家或销售商进行索赔的。消费者可以依法要求退货、退款或索赔赔偿费用。但在索赔前，需要确保赠品的质量问题是由生产厂家或销售商造成的，以及能够提供相关的购买凭证和证据。